电路理论基础笔记 (第二章：电路的等效变换)

摘要：本章主要研究电路的等效变换方法，这是分析线性电阻电路的重要工具。核心内容包括电阻的串并联等效、星形与三角形连接的等效变换、独立电源的等效变换以及实际电源两种模型（戴维宁与诺顿）之间的等效变换。等效变换的核心思想是保证变换前后端口处的电压 - 电流关系（VCR）保持不变。

---

2.1 电阻的串并联等效变换

等效变换是简化电路分析的重要手段。所谓等效，是指两个一端口电路在端口处具有完全相同的电压 - 电流关系。

一、电阻的串联

1. 定义 若干个电阻元件首尾相接，流过同一电流的连接方式称为串联。

2. 等效电阻 n 个电阻串联时，其等效电阻 $R_{eq}$ 等于各串联电阻之和： $R_{eq} = R_1 + R_2 + \dots + R_n = \sum_{k=1}^{n} R_k$

3. 分压公式 电阻元件串联时具有按电阻值正比分压的性质。每个串联电阻只承受总电压的一部分。 第 $k$ 个电阻的电压 $u_k$ 为： $u_k = R_k \cdot i = R_k \cdot \frac{u}{R_{eq}} = \frac{R_k}{R_{eq}} \cdot u$ 当 $n=2$ 时： $u_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} u, \quad u_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2} u$

二、电阻的并联

1. 定义 若干个电阻元件连接在两个公共节点之间，承受同一电压的连接方式称为并联。

2. 等效电阻 根据 KCL 定律 ($i = i_1 + i_2 + \dots$) 和欧姆定律，n 个电阻并联时，等效电阻的倒数等于各并联电阻倒数之和： $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$ 或者用电导表示 ($G = 1/R$)： $G_{eq} = G_1 + G_2 + \dots + G_n$ 对于两个电阻并联，等效电阻为： $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

3. 分流公式 电阻元件并联时具有按电导值正比分流的性质（即按电阻值反比分流）。 第 $k$ 个电阻的电流 $i_k$ 为： $i_k = \frac{G_k}{G_{eq}} i = \frac{R_{eq}}{R_k} i$ 当 $n=2$ 时： $i_1 = \frac{R_2}{R_1 + R_2} i, \quad i_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} i$

   注意：分流公式的前提是电压 $u$ 与各元件电流 $i_k$ 和总电流 $i$ 都是一致参考方向。

三、电路简化技巧

1. 短路线路处理 如果在电路中找到两点之间由导线直接连接（无电阻），则这两点电位相等，可视为同一个节点（缩成一点）。这有助于理清电阻之间的串并联关系。
2. 混联电路 对于既包含串联又包含并联的电路，应逐步识别局部串并联关系，逐步化简等效电阻，直至求出端口总等效电阻。

---

2.2 电阻的星形连接和三角形连接之间的等效变换

当电路中的电阻既不是串联也不是并联（如电桥电路）时，需要利用星形（Y）与三角形（Δ）连接的等效变换来简化电路。

一、连接方式定义

1. 星形连接 (Y 形 / T 形) 3 个电阻元件的一端连接成为一个公共节点，另一端作为外接端子与外电路相连。
2. 三角形连接 (Δ形 / Π形) 3 个电阻元件首尾相接形成一个闭合回路，三个连接点作为外接端子与外电路相连。
3. 三端电阻网络 星形和三角形连接都是通过三个端子与外部电路连接，故统称为三端电阻网络。

二、等效变换条件

变换前后，对应三个端子（①、②、③）之间的电压与电流关系必须完全相同。即任意两个端子间的端口等效电阻在变换前后相等（假设第三个端子开路）。

三、变换公式

1. 三角形连接等效变换成星形连接 (Δ -> Y)

已知三角形电路中的 3 个电阻 $R_{12}, R_{13}, R_{23}$，求星形电路中的 3 个电阻 $R_1, R_2, R_3$。

计算公式： $R_1 = \frac{R_{12} R_{13}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$ $R_2 = \frac{R_{12} R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$ $R_3 = \frac{R_{13} R_{23}}{R_{12} + R_{13} + R_{23}}$

记忆规则： 星形电路中某支路的电阻值 = (三角形电路中与该支路相邻的两个电阻之积) / (三角形电路中三个电阻之和)。

2. 星形连接等效变换成三角形连接 (Y -> Δ)

已知星形电路中的 3 个电阻 $R_1, R_2, R_3$，求三角形电路中的 3 个电阻 $R_{12}, R_{13}, R_{23}$。

计算公式： $R_{12} = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_3}$ $R_{13} = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2}$ $R_{23} = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1}$

记忆规则： 三角形电路某支路上的电阻值 = (星形电路中两两电阻乘积之和) / (星形电路中与该支路相对的电阻)。 或者：三角形电阻 = 相邻两个星形电阻之和 + (相邻两个星形电阻之积 / 另一个星形电阻)。

四、平衡电路的变换

1. 定义
   • 平衡星形电路：$R_1 = R_2 = R_3 = R_Y$
   • 平衡三角形电路：$R_{12} = R_{13} = R_{23} = R_\Delta$
2. 变换关系 对于平衡电路，变换公式简化为： $R_\Delta = 3 R_Y \quad \text{或} \quad R_Y = \frac{1}{3} R_\Delta$ 即三角形连接的等效电阻是星形连接等效电阻的 3 倍。

---

2.3 独立电源的等效变换

本节讨论理想独立电源与其他支路连接时的简化规则。

一、电压源的串联和并联

1. 电压源的串联

   • 规则：n 个电压源串联时，可用一个等效电压源替代。
   • 电压值：等效电压源的电压 $u_S$ 等于各串联电压源电压的代数和。 $u_S = u_{S1} + u_{S2} + \dots + u_{Sn}$
   • 符号约定：与等效电压源参考方向一致的取正值，相反的取负值。
   • 依据：KVL 定律。

2. 电压源的并联

   • 限制：只有电压值相等且极性相同的电压源才能并联。
   • 原因：否则不满足 KVL 定律（回路电压代数和不为零），或称元件模型失效。
   • 等效：多个相同电压源并联，对外电路而言，端电压仍为该电压值，可用其中一个电压源等效替换。

3. 电压源与其他支路并联

   • 规则：电压源 $u_S$ 与任意一条支路（如电阻、电流源等）并联后，对外电路可等效为一个电压值为 $u_S$ 的电压源。
   • 原理：电压源两端电压有确定值，并联支路不影响端口电压。
   • 注意：等效电压源的电流不再等于替代前的电压源电流（总电流会变）。

二、电流源的串联和并联

1. 电流源的并联

   • 规则：n 个电流源并联时，可用一个等效电流源替代。
   • 电流值：等效电流源的电流 $i_S$ 等于各并联电流源电流的代数和。 $i_S = i_{S1} + i_{S2} + \dots + i_{Sn}$
   • 符号约定：与等效电流源参考方向一致的取正值，相反的取负值。
   • 依据：KCL 定律。

2. 电流源的串联

   • 限制：只有电流值相等且参考方向相同的电流源才能串联。
   • 原因：否则不满足 KCL 定律（节点电流代数和不为零）。
   • 等效：多个相同电流源串联，支路电流仍为该电流值，可用其中一个电流源等效替换。

3. 电流源与其他支路串联

   • 规则：电流源 $i_S$ 与任意一条支路（如电阻、电压源等）串联后，对外电路可等效为一个电流值为 $i_S$ 的电流源。
   • 原理：电流源的电流是确定值，串联支路不影响端口电流。
   • 注意：等效电流源两端的电压不再等于替代前的电流源电压（总电压会变）。

---

2.4 实际电源的两种模型及其等效变换

理想电源（电压源电流无穷大、电流源电压无穷大）在实际中不存在。实际电源可用两种模型表示，且两者之间可以等效变换。

一、实际电源的两种模型

1. 戴维宁电路模型 (实际电压源模型)

   • 结构：理想电压源 $u_S$ 与电阻 $R_S$ 串联。
   • 物理意义：$R_S$ 为实际电压源的内阻。
   • VCR 方程：根据 KVL，端口电压 $u$ 与电流 $i$ 的关系为： $u = u_S - R_S i$
   • 特性：随着输出电流 $i$ 增大，端口电压 $u$ 下降。
   • 理想情况：当内阻 $R_S \to 0$ 时，退化为理想电压源。
   • 别称：有伴电压源。

2. 诺顿电路模型 (实际电流源模型)

   • 结构：理想电流源 $i_S$ 与电阻 $R_P$ 并联。
   • 物理意义：$R_P$ 为实际电流源的内阻。
   • VCR 方程：根据 KCL，端口电流 $i$ 与电压 $u$ 的关系为： $i = i_S - \frac{u}{R_P}$ 或者写为电压形式： $u = R_P i_S - R_P i$
   • 特性：随着端口电压 $u$ 增大，输出电流 $i$ 下降。
   • 理想情况：当内阻 $R_P \to \infty$ 时，退化为理想电流源。
   • 别称：有伴电流源。

二、戴维宁电路与诺顿电路的等效变换

一个单独的 ideal 电压源和一个单独的 ideal 电流源之间不能进行等效变换。但当电压源有电阻串联相伴，电流源有电阻并联相伴时，两者可以进行等效变换。

等效条件：两个电路具有相同的端口电压 - 电流关系 (VCR)。

1. 戴维宁电路变换为诺顿电路 (电压源 -> 电流源)

已知戴维宁电路参数 $u_S, R_S$，求诺顿电路参数 $i_S, R_P$。

• 电阻关系： $R_P = R_S$ (等效电阻不变，连接方式由串联变为并联)
• 电源关系： $i_S = \frac{u_S}{R_S}$ (电流源电流等于电压源电压除以电阻)
• 方向关系： 电流源 $i_S$ 的参考方向与电压源 $u_S$ 的参考方向相反（即电流源箭头从电压源的负极指向正极，或者说电流源流出端对应电压源正极）。

2. 诺顿电路变换为戴维宁电路 (电流源 -> 电压源)

已知诺顿电路参数 $i_S, R_P$，求戴维宁电路参数 $u_S, R_S$。

• 电阻关系： $R_S = R_P$
• 电源关系： $u_S = R_P \cdot i_S$ (电压源电压等于电流源电流乘以电阻)
• 方向关系： 电压源 $u_S$ 的正极性端对应电流源 $i_S$ 箭头流出的一端。

三、受控电源的等效变换

1. 原则 受控电压源和电阻的串联组合，与受控电流源和电阻的并联组合，也可以用上述方法进行等效变换。
2. 处理方法 在变换过程中，把受控源当作独立源来处理，使用相同的变换公式。
3. 关键注意点 控制量所在支路要保持完整而不被改变。 控制量（如某支路电流或电压）在变换过程中不能消失或改变其物理意义，否则受控源将失去控制依据。

四、电路分析中的应用策略

1. 灵活运用：电路分析时，有时用戴维宁电路方便（串联结构），有时用诺顿电路方便（并联结构）。要根据实际电路结构灵活运用等效变换方法逐步化简。
2. 化简目标：通常目标是将复杂电路化简为单回路或单节点对电路，以便求解特定支路的电流或电压。
3. 验证：等效变换仅保证端口外部特性不变，内部功率分布可能发生变化。计算功率时需注意区分是变换前还是变换后的模型。

---

总结

1. 等效的核心：端口 VCR 不变。
2. 电阻网络化简：优先识别串并联，无法识别时使用 Y-Δ 变换。
3. 电源化简：
   • 理想电压源并联支路 -> 等效为电压源。
   • 理想电流源串联支路 -> 等效为电流源。
   • 实际电源模型 (戴维宁 <-> 诺顿) 可互相变换，注意电源方向相反。
4. 受控源：变换时保留控制量支路。
5. 参考方向：所有公式的使用都必须严格基于参考方向，特别是功率计算和电源变换方向。