一些基础概念

第一章 绪论

1. 数字量和模拟量

自然界存在两类物理量：

• 数字量：变化在时间上和数量上都是离散的、不连续的。其值的大小和增减变化都是某一个最小数量单位的整数倍，且无任何物理意义。表示数字量的信号称为数字信号，工作在数字信号下的电子电路称为数字电路。
• 模拟量：变化在时间上和数量上都是连续的，如时间、温度、压力、速度等。表示模拟量的信号称为模拟信号，工作在模拟信号下的电子电路称为模拟电路。

2. 数字信号和数字电路

数字信号是不连续的、离散的量，其值的大小无具体的物理意义。通常用 0 和 1 表示，如：

• 开关的通断
• 电位的高低
• 脉冲的有无

数字电路的特点：

1. 可对数字信号进行算术（+、-、×、÷）运算和逻辑运算。
2. 输入、输出都是数字信号，且只有 0 或 1 两种状态。
3. 输入、输出间的关系为逻辑关系。

3. 数字信号的特点

与模拟信号相比，数字信号具有以下优点：

• 通信系统：抗干扰强、保密性好，便于信息处理和控制。
• 测量仪表：测量精度高、功能强大、易实现自动化和智能化。
• 集成系统：可靠性高、易集成化、微型化。

21世纪是信息数字化的时代，数字信号将广泛应用于通讯、计算机、自动控制和航空航天等领域。

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第二章 数制与编码

在数字设备中，存在两种不同类型的运算：

• 逻辑运算：实现某种功能控制。
• 算术运算：对数据进行加工处理。

数字设备中采用二进制数，其中数、字母、符号都以特定二进制码表示。

2.1 进位计数制

进位计数制是指有序数字低位和相邻高位之间进位的关系。常用进制有十进制、二进制、八进制和十六进制等。

一、十进制数

• 采用 0 ~ 9 十个有序数和一个小数点“.”表示。
• 低位和相邻高位之间的关系：逢十进一、借一当十。

任意十进制数 (N) 可表示为：

N_{10} = (a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots a_{-m})_{10}

按位权展开：

N_{10} = \sum_{i=-m}^{n-1} a_i \times 10^i, \quad 0 \le a_i \le 9

二、二进制数

• 采用 0, 1 两个有序数和一个小数点“.”表示。
• 低位和相邻高位之间的关系：逢二进一、借一当二。

任意二进制数 (N_2) 表示为：

[ N_2 = b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_1b_0.b_{-1}b_{-2}\ldots b_{-m}2 = \sum{i=-m}^{n-1} b_i \times 2^i ]

三、任意 R 进制数

• 采用 0, 1, 2, …, R-1 共 R 个有序数和一个小数点“.”表示。
• 低位和相邻高位之间的关系：逢 R 进一、借一当 R。

[ N_R = C_{n-1}C_{n-2}\ldots C_1C_0.C_{-1}C_{-2}\ldots C_{-m}R = \sum{i=-m}^{n-1} C_i \times R^i, \quad 0 \le C_i \le R-1 ]

常用进制：

• 八进制R=8：逢八进一，数码 0~7。
• 十六进制R=16：逢十六进一，数码 0~9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)。

几种进位计数制的对应关系

十进制	二进制	三进制	四进制	八进制	十六进制
0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1
2	10	2	2	2	2
3	11	10	3	3	3
4	100	11	10	4	4
5	101	12	11	5	5
6	110	20	12	6	6
7	111	21	13	7	7
8	1000	22	20	10	8
9	1001	100	21	11	9
10	1010	101	22	12	A
11	1011	102	23	13	B
12	1100	110	30	14	C
13	1101	111	31	15	D
14	1110	112	32	16	E
15	1111	120	33	17	F
16	10000	121	100	20	10

2.2 数制转换

一、任意 R 进制数转换为十进制数

采用多项式替代法：按位权展开，按十进制运算规则求和。

例1：二进制 → 十进制 [ (11010.11)2 = 1\times2^4 + 1\times2^3 + 0\times2^2 + 1\times2^1 + 0\times2^0 + 1\times2^{-1} + 1\times2^{-2} = (26.75){10} ]

例2：八进制 → 十进制 [ (137.504)8 = 1\times8^2 + 3\times8^1 + 7\times8^0 + 5\times8^{-1} + 0\times8^{-2} + 4\times8^{-3} = (95.6328125){10} ]

例3：十六进制 → 十进制 [ (12AF.B4){16} = 1\times16^3 + 2\times16^2 + 10\times16^1 + 15\times16^0 + 11\times16^{-1} + 4\times16^{-2} = (4783.703125){10} ]

二、十进制数转换为 R 进制数

整数部分和小数部分分别转换。

1. 整数部分：采用基数除法（除R取余，逆序排列）。
2. 小数部分：采用基数乘法（乘R取整，顺序排列）。

例4：(73.475)₁₀ = (?)₂ （练习）

整数部分：73 ÷ 2 = 36 余 1，36 ÷ 2 = 18 余 0，18 ÷ 2 = 9 余 0，9 ÷ 2 = 4 余 1，4 ÷ 2 = 2 余 0，2 ÷ 2 = 1 余 0，1 ÷ 2 = 0 余 1 → (1001001)₂
小数部分：0.475 × 2 = 0.95 → 0，0.95 × 2 = 1.9 → 1，0.9 × 2 = 1.8 → 1，0.8 × 2 = 1.6 → 1，0.6 × 2 = 1.2 → 1，… 可近似为 (0.01111)₂
结果约 (1001001.01111)₂

三、任意两种进位制之间的转换

利用十进制作为桥梁：( (N){\alpha} \to (N){10} \to (N)_{\beta} )

结果：(1023.231)₄ = (75.703125)₁₀ = (300.32)₅

四、基数为 2^k 进位制之间的转换

• 一位八进制数可用三位二进制数表示（(2^3=8)）。
• 一位十六进制数可用四位二进制数表示（(2^4=16)）。

例1：(65.307)₈ = (?)₂ (65.307)_8 = (110,101,.;011,000,111)_2

例2：(A2D.E)₁₆ = (?)₂ (A2D.E)_{16} = (1010,0010,1101,.;1110)_2

例3：(BF.28A)₁₆ = (?)₈ 先转二进制，再转八进制： (BF.28A)_{16} = (1011,1111,.;0010,1000,1010)_2 = (010,111,111,.;001,010,001,010)_2 = (277.1212)_8

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2.3 编码

编码：指定二进制组合代表一个确定的信息。
代码：具有确定信息的符号。

二-十进制编码（BCD码）

BCD码具有十进制数的特点、二进制数的形式，是“人-机对话”的中间表示。

1. 有权BCD码

每位十进制数用4位二进制数表示，且每一位有固定权值。

（1）8421BCD码

• 权值：8, 4, 2, 1
• 使用00001001表示09，1010~1111为禁用码。

十进制	8421BCD
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001

例：(37.86)₁₀ = (0011 0111.1000 0110)₈₄₂₁BCD
例：(0110 0010 1000.1001 0101)₈₄₂₁BCD = (628.95)₁₀

（2）5421BCD码

• 权值：5, 4, 2, 1
• 前五位与8421码相同。

十进制	5421BCD
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	1000
6	1001
7	1010
8	1011
9	1100

例：(645.89)₁₀ = (1001 0100 1000.1011 1100)₅₄₂₁BCD

（3）2421BCD码

• 权值：2, 4, 2, 1
• 具有对9的自补特性（按位取反即得9的补码）。

十进制	2421BCD
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	1011
6	1100
7	1101
8	1110
9	1111

2. 无权BCD码

没有确定的位权值，不能按位权展开。

（1）余3码

• 等于8421码加0011。
• 也具有对9的自补特性。

十进制	余3码
0	0011
1	0100
2	0101
3	0110
4	0111
5	1000
6	1001
7	1010
8	1011
9	1100

（2）余3循环码

• 相邻两个码组之间只有一个码元不同，属于高可靠性编码，常用于高分辨率设备以避免计数误码。

十进制	余3循环码
0	0010
1	0110
2	0111
3	0101
4	0100
5	1100
6	1101
7	1111
8	1110
9	1010

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2.4 算术运算和逻辑运算

在数字电路中，1位二进制数码可以用0和1表示两种对立逻辑状态，称为二值逻辑。

• 算术运算：二进制算术运算规则与十进制基本相同，区别在于“逢二进一”。

例：1001 + 0101 = 1110；1001 - 0101 = 0100（采用补码运算）。

• 补码表示：
• 最高位为符号位：0表示正数，1表示负数。
• 正数的补码与原码相同。
• 负数的补码：原码求反（符号位不变）再加1。

例：计算 (1001)₂ - (0101)₂ [ (+1001){\text{补}} = 01001, \quad (-0101){\text{补}} = 11011 ] 相加： 01001 + 11011 = 100100 \quad \text{舍去进位，得 } 00100 = (0100)_2 结果为 (0100)₂，即 (4)₁₀。减法运算变为加法，简化了电路结构。

• 逻辑运算：按指定的因果关系进行运算，将在后续章节详细介绍。

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