刚体（一）

刚体的转动

一、刚体模型与运动形式

1. 刚体的定义

刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）。

• 刚体是理想模型。
• 引进刚体模型是为了简化问题。

2. 刚体的运动形式

1. 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同。
   • 特点：各点运动状态一样（$\vec{v}$、$\vec{a}$ 等都相同）。
   • 可简化为质点运动处理。
2. 转动：
   • 定轴转动
   • 非定轴转动
3. 平面运动：刚体的一般运动可看作 随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成。

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二、刚体定轴转动的运动学

1. 角量描述

• 角坐标：$\theta = \theta(t)$
• 角位移：$\Delta \theta = \theta(t + \Delta t) - \theta(t)$
  • 逆时针转动：$\Delta \theta > 0$
  • 顺时针转动：$\Delta \theta < 0$
• 角速度： $\omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d\theta}{dt}$
  • 方向：由右手定则确定（沿转轴方向）。
• 角加速度： $\alpha = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$

2. 匀变速转动公式

当刚体绕定轴转动的角加速度 $\alpha = \text{常量}$ 时，刚体做匀变速转动。其与质点匀变速直线运动公式具有类比性：

质点匀变速直线运动	刚体绕定轴作匀变速转动
$v = v_0 + at$	$\omega = \omega_0 + \alpha t$
$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$	$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$
$v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$	$\omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha(\theta - \theta_0)$

3. 角量与线量的关系

设质点到转轴的距离为 $r$：

• 线速度： $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \quad \Rightarrow \quad v = r\omega$
• 切向加速度： $a_t = r\alpha$
• 法向加速度： $a_n = r\omega^2$
• 总加速度： $\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n$

定轴转动的特点：

1. 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面。
2. 运动描述仅需一个角坐标。
3. 刚体的任一质点 $\alpha, \omega, \Delta \theta$ 均相同，但 $\vec{v}, \vec{a}$ 不同。

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三、力矩与转动定律

1. 力矩 (Torque)

用来描述力对刚体的转动作用。

• 定义：$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$
• 大小：$M = Fd = Fr\sin\theta$ （$d$ 为力臂）
• 方向：右手定则。
• 合力矩：$\vec{M} = \sum \vec{M}_i$
• 注意：
  • 若力不在转动平面内，分解为平行和垂直于转轴的分量，平行分量力矩为零。
  • 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消。

2. 转动定律 (Law of Rotation)

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。

推导过程

1. 取质量元 $\Delta m_i$，受外力 $\vec{F}_i$，内力 $\vec{F}'_i$。
2. 由牛顿第二定律，切向运动方程为： $F_{it} + F'_{it} = \Delta m_i a_{it} = \Delta m_i r_i \alpha$
3. 两边同乘 $r_i$： $r_i F_{it} + r_i F'_{it} = \Delta m_i r_i^2 \alpha$
4. 对所有质元求和，内力矩之和为零 ($\sum r_i F'_{it} = 0$)： $\sum r_i F_{it} = \left( \sum \Delta m_i r_i^2 \right) \alpha$
5. 定义合外力矩 $M = \sum r_i F_{it}$，转动惯量 $J = \sum \Delta m_i r_i^2$。
6. 得到转动定律： $M = J\alpha$

说明

• $M, \alpha$ 方向相同。
• 为瞬时关系。
• 转动中 $M=J\alpha$ 与平动中 $F=ma$ 地位相同。

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四、转动惯量 (Moment of Inertia)

1. 定义与计算

转动惯量是转动惯性的量度，单位：$\text{kg} \cdot \text{m}^2$。

• 质量离散分布： $J = \sum \Delta m_i r_i^2 = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \dots$
• 质量连续分布： $J = \int r^2 dm = \int_V \rho r^2 dV$ 其中 $dm$ 为质量元，$dV$ 为体积元，$\rho$ 为体密度。

2. 影响因素

1. 与刚体的总质量有关。
2. 与刚体的几何形状及质量分布有关。
3. 与转轴的位置有关。

3. 平行轴定理

质量为 $m$ 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 $J_C$，则对任一与该轴平行、相距为 $d$ 的转轴的转动惯量 $J$ 为： $J = J_C + md^2$

典型刚体的转动惯量

• 均匀细长棒 (质量 $m$, 长 $l$)：
  • 通过中心并与棒垂直：$J = \frac{1}{12}ml^2$
  • 通过端点并与棒垂直：$J = \frac{1}{3}ml^2$ (利用平行轴定理求得)

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五、典型例题解析

例 1：电动机转速问题

已知：转速随时间变化 $\omega = \omega_m (1 - e^{-t/\tau})$，其中 $\omega_m = 540 \, \text{r/s}, \tau = 2.0 \, \text{s}$。 求：

1. $t=6\,\text{s}$ 时的转速。
2. $t=6\,\text{s}$ 内转过的圈数。
3. 角加速度随时间变化规律。

解要点：

1. 代入时间求 $\omega$。
2. 圈数 $N = \frac{1}{2\pi} \int_0^t \omega dt$。
3. 角加速度 $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$。

例 2：水坝受力与力矩

已知：坝高 $110\,\text{m}$，长 $1000\,\text{m}$，水深 $100\,\text{m}$。 求：作用在大坝上的力及对基点 $Q$ 的力矩。

解要点：

• 取面积元 $dA = L dy$。
• 压强 $p = p_0 + \rho g (h-y)$。
• 力 $F = \int p dA$。
• 力矩 $M = \int y dF$。

例 3：滑轮系统动力学

模型：物体 A (质量 $m_A$) 在光滑水平面，通过绳跨过滑轮 C (质量 $m_C$, 半径 $R$) 连接物体 B (质量 $m_B$)。 求：线加速度 $a$ 及绳索张力 $F_{T1}, F_{T2}$。

解要点：

1. 隔离法受力分析。
2. 列方程：
   • A: $F_{T1} = m_A a$
   • B: $m_B g - F_{T2} = m_B a$
   • C (转动): $(F_{T2} - F_{T1})R = J\alpha$，且 $J = \frac{1}{2}m_C R^2$, $a = R\alpha$。
3. 联立求解。

例 4：细杆摆动

模型：长 $l$、质量 $m$ 匀质细杆，下端铰链固定，从竖直位置受扰动倒下。 求：转动到与竖直线成 $\theta$ 角时的角加速度 $\alpha$ 和角速度 $\omega$。

解要点：

1. 力矩 $M = mg \frac{l}{2} \sin\theta$。
2. 转动惯量 $J = \frac{1}{3}ml^2$。
3. 由 $M = J\alpha$ 求 $\alpha = \frac{3g}{2l}\sin\theta$。
4. 由 $\alpha = \omega \frac{d\omega}{d\theta}$ 积分求 $\omega$： $\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}(1 - \cos\theta)}$

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六、思考与讨论

1. 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？
   • 为了增大转动惯量 $J$，使转动状态更稳定（储能更多）。
2. 竿子长些还是短些较安全？
   • 长竿转动惯量大，角加速度小，倒得慢，更容易调整平衡。
3. 滑轮拉力问题：
   • 若将挂物体改为直接用等于物体重力的力拉绳子，滑轮的角加速度会 变大。
   • 原因：挂物体时，物体本身也有加速度，绳中张力 $T < mg$；直接拉时，张力 $T = mg$。力矩更大，故 $\alpha$ 更大。