高数空间向量：直线与平面 经典例题全解析

本文覆盖平面方程、直线方程、位置关系、夹角、投影、距离、综合应用全考点，例题从基础到进阶，每道题附详细解题步骤、核心知识点与易错提示，适配高数期末考、考研数一/数二复习需求。

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一、平面方程相关例题

题型 1：点法式求平面方程（基础）

例题 1 求过点$M(1,1,1)$，且法向量为$\boldsymbol{n}=(2,2,3)$的平面方程，并化为一般式。

详细解析

1. 核心知识点：平面的点法式方程，核心是平面上任意一点与定点的向量都与法向量垂直，即点积为 0。
2. 代入点法式公式：已知定点$(x_0,y_0,z_0)=(1,1,1)$，法向量$(A,B,C)=(2,2,3)$，代入得： $2(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0$
3. 展开化为一般式： $2x-2+2y-2+3z-3=0 \implies \boldsymbol{2x+2y+3z-7=0}$

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题型 2：三点式求平面方程（高频考点）

例题 2 求过三点$A(1,1,-1)$，$B(-2,-2,2)$，$C(1,-1,2)$的平面方程。

详细解析

1. 核心思路：三点确定一个平面，先求平面内两个不共线向量，通过叉乘得到平面法向量（叉乘结果垂直于两个原向量，天然符合法向量定义），再用点法式求解。
2. 步骤 1：求平面内两个向量 $\overrightarrow{AB}=(-2-1,-2-1,2-(-1))=(-3,-3,3)$ $\overrightarrow{AC}=(1-1,-1-1,2-(-1))=(0,-2,3)$
3. 步骤 2：叉乘求法向量$\boldsymbol{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ $\boldsymbol{n}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ -3 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 3 \end{vmatrix} =\boldsymbol{i}(-9+6)-\boldsymbol{j}(-9-0)+\boldsymbol{k}(6-0)=(-3,9,6)$ 法向量可简化为$\boldsymbol{n}=(-1,3,2)$（乘以非零常数不改变法向量方向）。
4. 步骤 3：代入点法式（选点$A(1,1,-1)$） $-1(x-1)+3(y-1)+2(z+1)=0$
5. 展开化简： $-x+1+3y-3+2z+2=0 \implies \boldsymbol{x-3y-2z=0}$
6. 验证：三点代入方程均成立，结果正确。

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题型 3：平行/垂直条件求平面方程

例题 3 求过点$M(2,0,-3)$，且与平面$\pi_0:2x-y+3z-1=0$平行的平面方程。

详细解析

1. 核心知识点：两平面平行的充要条件是法向量互相平行（成非零常数倍）。
2. 步骤 1：确定所求平面的法向量 已知平面$\pi_0$的法向量$\boldsymbol{n_0}=(2,-1,3)$，所求平面与$\pi_0$平行，故法向量$\boldsymbol{n}=\boldsymbol{n_0}=(2,-1,3)$。
3. 步骤 2：代入点法式（定点$M(2,0,-3)$） $2(x-2)-1(y-0)+3(z+3)=0$
4. 展开化简： $2x-4-y+3z+9=0 \implies \boldsymbol{2x-y+3z+5=0}$
5. 易错提示：若定点在原平面上，所求平面与原平面重合，需注意题目是否要求“不重合”。

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例题 4 求过点$M(1,0,1)$，且同时垂直于平面$\pi_1:x+y-z=0$和$\pi_2:2x+y+z+1=0$的平面方程。

详细解析

1. 核心思路：所求平面同时垂直于两个已知平面，说明其法向量同时垂直于两个已知平面的法向量，因此法向量为两个已知法向量的叉乘。
2. 步骤 1：提取两个已知平面的法向量 $\boldsymbol{n_1}=(1,1,-1),\quad \boldsymbol{n_2}=(2,1,1)$
3. 步骤 2：叉乘求所求平面的法向量$\boldsymbol{n}$ $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{n_1}\times\boldsymbol{n_2}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} =\boldsymbol{i}(1+1)-\boldsymbol{j}(1+2)+\boldsymbol{k}(1-2)=(2,-3,-1)$
4. 步骤 3：代入点法式（定点$M(1,0,1)$） $2(x-1)-3(y-0)-1(z-1)=0$
5. 展开化简： $2x-2-3y-z+1=0 \implies \boldsymbol{2x-3y-z-1=0}$

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题型 4：两平面的夹角与位置关系判定

例题 5 求两平面$\pi_1:x-y+2z-6=0$和$\pi_2:2x+y+z-5=0$的夹角，并判定位置关系。

详细解析

1. 核心知识点：两平面的夹角定义为其法向量夹角的锐角/直角（范围$[0,\frac{\pi}{2}]$），用点积公式计算；位置关系由法向量判定：平行→法向量成比例，垂直→法向量点积为 0，相交→不平行。
2. 步骤 1：提取法向量 $\boldsymbol{n_1}=(1,-1,2),\quad \boldsymbol{n_2}=(2,1,1)$
3. 步骤 2：判定位置关系 法向量不成比例（$\frac{1}{2}\neq\frac{-1}{1}$），故两平面相交； 点积$\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}=1\times2+(-1)\times1+2\times1=3\neq0$，故不垂直。
4. 步骤 3：计算夹角 $\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}|}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|}=\frac{|3|}{\sqrt{1+1+4}\times\sqrt{4+1+1}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ 因此$\boldsymbol{\theta=\frac{\pi}{3}}$（60°）。
5. 易错提示：夹角公式必须加绝对值，确保结果为锐角/直角。

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二、空间直线方程相关例题

题型 1：对称式/参数式求直线方程（基础）

例题 6 求过点$M(1,2,3)$，且方向向量为$\boldsymbol{s}=(2,-1,1)$的直线的对称式方程、参数方程。

详细解析

1. 核心知识点：直线的对称式（点向式）核心是直线上任意一点与定点的向量与方向向量平行（坐标成比例）。
2. 对称式方程：代入定点$(1,2,3)$和方向向量$(2,-1,1)$，得： $\boldsymbol{\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{1}}$
3. 参数方程：令对称式的比值为参数$t$（$t\in\mathbb{R}$），拆分得： $\boldsymbol{\begin{cases} x=1+2t \\ y=2-t \\ z=3+t \end{cases}} \quad t\in\mathbb{R}$

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题型 2：两点式求直线方程

例题 7 求过两点$A(1,0,-2)$和$B(3,1,0)$的直线方程。

详细解析

1. 核心思路：两点确定一条直线，方向向量为两点的坐标差，再用对称式求解。
2. 步骤 1：求方向向量 $\boldsymbol{s}=\overrightarrow{AB}=(3-1,1-0,0-(-2))=(2,1,2)$
3. 步骤 2：代入对称式（选点$A(1,0,-2)$） $\boldsymbol{\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{2}}$
4. 补充：选点$B$也可得到等价方程$\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$，二者为同一直线。

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题型 3：直线一般式（交面式）化为对称式/参数式（高频考点）

例题 8 将直线的一般式方程$L:\begin{cases}2x-3y+z-5=0 \\ 3x+y-2z-4=0\end{cases}$化为对称式方程和参数方程。

详细解析

1. 核心思路：直线是两个平面的交线，需找到直线上一个定点和直线的方向向量，再转化为对称式。
2. 步骤 1：找直线上的一个定点 令$z=0$，简化方程组为： $\begin{cases}2x-3y=5 \\ 3x+y=4\end{cases}$ 第二个方程乘 3 加第一个方程，得$11x=17 \implies x=\frac{17}{11}$，代入得$y=-\frac{7}{11}$。 因此得到直线上的定点$M(\frac{17}{11}, -\frac{7}{11}, 0)$。 （注：也可令$x=0$或$y=0$，只要能解出另外两个坐标即可）
3. 步骤 2：求直线的方向向量$\boldsymbol{s}$ 直线是两个平面的交线，因此直线的方向向量同时垂直于两个平面的法向量，即$\boldsymbol{s}=\boldsymbol{n_1}\times\boldsymbol{n_2}$。 两个平面的法向量：$\boldsymbol{n_1}=(2,-3,1)$，$\boldsymbol{n_2}=(3,1,-2)$。 $\boldsymbol{s}=\boldsymbol{n_1}\times\boldsymbol{n_2}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} =\boldsymbol{i}(6-1)-\boldsymbol{j}(-4-3)+\boldsymbol{k}(2+9)=(5,7,11)$
4. 步骤 3：写对称式方程 代入定点和方向向量，得： $\boldsymbol{\frac{x-\frac{17}{11}}{5}=\frac{y+\frac{7}{11}}{7}=\frac{z}{11}}$ （可通分整理为$\frac{11x-17}{55}=\frac{11y+7}{77}=\frac{z}{11}$，不影响正确性）
5. 步骤 4：写参数方程 令对称式比值为$t$，得： $\boldsymbol{\begin{cases} x=\frac{17}{11}+5t \\ y=-\frac{7}{11}+7t \\ z=11t \end{cases}} \quad t\in\mathbb{R}$

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题型 4：两直线的位置关系与夹角

例题 9 判定两直线$L_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-1}$，$L_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}$的位置关系，并求夹角。

详细解析

1. 核心知识点：
   • 平行：方向向量成非零常数倍；
   • 垂直：方向向量点积为 0；
   • 共面：两直线上定点构成的向量与两个方向向量的混合积为 0；
   • 异面：不平行且混合积不为 0。
2. 步骤 1：提取核心参数 $L_1$方向向量$\boldsymbol{s_1}=(2,1,-1)$，定点$M_1(1,2,3)$； $L_2$方向向量$\boldsymbol{s_2}=(1,-1,2)$，定点$M_2(1,1,-1)$； 向量$\overrightarrow{M_1M_2}=(0,-1,-4)$。
3. 步骤 2：判定位置关系
   • 平行判定：$\frac{2}{1}\neq\frac{1}{-1}$，方向向量不成比例，故不平行；
   • 共面判定：计算混合积$(\boldsymbol{s_1}\times\boldsymbol{s_2})\cdot\overrightarrow{M_1M_2}$ 先算叉乘：$\boldsymbol{s_1}\times\boldsymbol{s_2}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\2&1&-1\\1&-1&2\end{vmatrix}=(1,-5,-3)$ 再算点积：$(1,-5,-3)\cdot(0,-1,-4)=0+5+12=17\neq0$ 混合积不为 0，故两直线异面。
4. 步骤 3：计算夹角 $\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{s_1}\cdot\boldsymbol{s_2}|}{|\boldsymbol{s_1}||\boldsymbol{s_2}|}=\frac{|2\times1+1\times(-1)+(-1)\times2|}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\frac{|-1|}{6}=\frac{1}{6}$ 因此夹角$\boldsymbol{\theta=\arccos\frac{1}{6}}$。

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三、直线与平面综合例题（高频重难点）

题型 1：直线与平面的位置关系与夹角

例题 10 判定直线$L:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{1}$与平面$\pi:x+2y+z-4=0$的位置关系，若相交求交点与夹角。

详细解析

1. 核心知识点：
   • 直线在平面内：方向向量与法向量点积为 0，且直线上有一点在平面内；
   • 平行不相交：方向向量与法向量点积为 0，且直线上点不在平面内；
   • 垂直：方向向量与法向量成非零常数倍；
   • 相交：方向向量与法向量点积不为 0。 直线与平面夹角$\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$，公式为$\sin\theta=\frac{|\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{s}||\boldsymbol{n}|}$（与法向量夹角互余，故用 sin）。
2. 步骤 1：提取核心参数 直线方向向量$\boldsymbol{s}=(2,-1,1)$，平面法向量$\boldsymbol{n}=(1,2,1)$。
3. 步骤 2：判定位置关系 点积$\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}=2\times1+(-1)\times2+1\times1=1\neq0$，故直线与平面相交。
4. 步骤 3：求交点 写出直线的参数方程：$x=1+2t,\ y=-2-t,\ z=3+t$，代入平面方程： $(1+2t)+2(-2-t)+(3+t)-4=0$ 化简得：$-4+t=0 \implies t=4$。 代入参数方程，得交点坐标：$\boldsymbol{(9,-6,7)}$。
5. 步骤 4：求直线与平面的夹角 $\sin\theta=\frac{|\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{s}||\boldsymbol{n}|}=\frac{|1|}{\sqrt{4+1+1}\times\sqrt{1+4+1}}=\frac{1}{6}$ 因此夹角$\boldsymbol{\theta=\arcsin\frac{1}{6}}$。
6. 易错提示：直线与平面夹角公式是$\sin\theta$，不是$\cos\theta$，极易混淆！

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题型 2：点在平面/直线上的投影（高频考点）

例题 11 求点$M(1,2,1)$在平面$\pi:x+2y+2z-10=0$上的投影点。

详细解析

1. 核心思路：点在平面上的投影，是过该点作平面的垂线，垂线与平面的交点即为投影点；垂线的方向向量就是平面的法向量。
2. 步骤 1：写垂线的参数方程 平面法向量$\boldsymbol{n}=(1,2,2)$，过点$M(1,2,1)$的垂线参数方程为： $x=1+t,\ y=2+2t,\ z=1+2t \quad t\in\mathbb{R}$
3. 步骤 2：求垂线与平面的交点 将参数方程代入平面方程： $(1+t)+2(2+2t)+2(1+2t)-10=0$ 化简得：$-3+9t=0 \implies t=\frac{1}{3}$。
4. 步骤 3：求投影点坐标 代入$t=\frac{1}{3}$，得投影点：$\boldsymbol{(\frac{4}{3},\frac{8}{3},\frac{5}{3})}$。

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例题 12 求点$M(2,1,3)$在直线$L:\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$上的投影点。

详细解析

1. 核心思路：点在直线上的投影，是过该点作直线的垂直平面，平面与直线的交点即为投影点；垂直平面的法向量就是直线的方向向量。
2. 步骤 1：写垂直平面的方程 直线方向向量$\boldsymbol{s}=(3,2,-1)$，即垂直平面的法向量，平面过点$M(2,1,3)$，代入点法式： $3(x-2)+2(y-1)-1(z-3)=0$ 化简得：$3x+2y-z-5=0$。
3. 步骤 2：求直线与平面的交点 写出直线的参数方程：$x=-1+3t,\ y=1+2t,\ z=-t$，代入垂直平面方程： $3(-1+3t)+2(1+2t)-(-t)-5=0$ 化简得：$-6+14t=0 \implies t=\frac{3}{7}$。
4. 步骤 3：求投影点坐标 代入$t=\frac{3}{7}$，得投影点：$\boldsymbol{(\frac{2}{7},\frac{13}{7},-\frac{3}{7})}$。

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题型 3：直线在平面上的投影直线（重难点）

例题 13 求直线$L:\begin{cases}x+y-z-1=0 \\ x-y+z+1=0\end{cases}$在平面$\pi:x+y+z=0$上的投影直线方程。

详细解析

这里提供两种通用解法，优先掌握平面束法（更快捷）。

方法一：平面束法（推荐）

1. 核心思路：投影直线是“过直线$L$且与平面$\pi$垂直的平面”与$\pi$的交线；先通过平面束找到这个垂直平面，再联立得到交线。
2. 步骤 1：写过直线$L$的平面束方程 直线$L$是两个平面的交线，过$L$的所有平面（除第二个平面）可表示为： $(x+y-z-1)+\lambda(x-y+z+1)=0 \quad \lambda\in\mathbb{R}$ 整理得：$(1+\lambda)x+(1-\lambda)y+(\lambda-1)z+(\lambda-1)=0$，法向量$\boldsymbol{n_1}=(1+\lambda,1-\lambda,\lambda-1)$。
3. 步骤 2：求垂直平面的$\lambda$值 平面束中的平面需与$\pi$垂直，故法向量点积为 0。$\pi$的法向量$\boldsymbol{n}=(1,1,1)$，因此： $(1+\lambda)\times1+(1-\lambda)\times1+(\lambda-1)\times1=0$ 化简得：$1+\lambda=0 \implies \lambda=-1$。
4. 步骤 3：得到垂直平面方程 代入$\lambda=-1$，得：$2y-2z-2=0$，化简为$\boldsymbol{y-z-1=0}$。
5. 步骤 4：联立得到投影直线方程 投影直线是垂直平面与$\pi$的交线，即： $\boldsymbol{\begin{cases}y-z-1=0 \\ x+y+z=0\end{cases}}$

方法二：投影点法

1. 核心思路：找到直线$L$上两个点，分别求其在平面$\pi$上的投影点，两个投影点确定的直线即为投影直线。
2. 步骤 1：求直线$L$的参数方程 找$L$上定点：令$z=0$，解得$x=0,y=1$，即$M_1(0,1,0)$； 求方向向量：$\boldsymbol{s}=\boldsymbol{n_1}\times\boldsymbol{n_2}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\1&1&-1\\1&-1&1\end{vmatrix}=(0,-2,-2)$，简化为$(0,1,1)$； 因此$L$的参数方程：$x=0,\ y=1+t,\ z=t$。
3. 步骤 2：求两个点的投影点
   • 点$M_1(0,1,0)$的投影：过$M_1$作$\pi$的垂线$x=t,y=1+t,z=t$，代入$\pi$得$t=-\frac{1}{3}$，投影点$M_1'(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$；
   • 取$t=1$，得$L$上点$M_2(0,2,1)$，同理求得投影点$M_2'(-1,1,0)$。
4. 步骤 3：写投影直线方程 过$M_1',M_2'$的直线方向向量$\boldsymbol{s'}=(-\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$，简化为$(-2,1,1)$，对称式为： $\frac{x+\frac{1}{3}}{-2}=\frac{y-\frac{2}{3}}{1}=\frac{z+\frac{1}{3}}{1}$ 化为一般式与方法一结果完全一致。

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题型 4：距离问题（高频考点）

例题 14 求点$M(2,1,3)$到直线$L:\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$的距离。

详细解析

推荐使用叉乘公式法，无需计算投影点，更快捷。

1. 核心公式：点到直线距离$d=\frac{|\overrightarrow{M_0M}\times\boldsymbol{s}|}{|\boldsymbol{s}|}$，几何意义是“以$\overrightarrow{M_0M}$和$\boldsymbol{s}$为邻边的平行四边形的高”。
2. 步骤 1：提取核心参数 直线$L$上定点$M_0(-1,1,0)$，方向向量$\boldsymbol{s}=(3,2,-1)$； 向量$\overrightarrow{M_0M}=(2-(-1),1-1,3-0)=(3,0,3)$。
3. 步骤 2：计算叉乘$\overrightarrow{M_0M}\times\boldsymbol{s}$ $\overrightarrow{M_0M}\times\boldsymbol{s}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 3 & 0 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}=(-6,12,6)$
4. 步骤 3：计算模长与距离 $|\overrightarrow{M_0M}\times\boldsymbol{s}|=\sqrt{(-6)^2+12^2+6^2}=6\sqrt{6}$； $|\boldsymbol{s}|=\sqrt{3^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{14}$； 因此距离： $d=\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{14}}=\boldsymbol{\frac{6\sqrt{21}}{7}}$

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例题 15 求两异面直线$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1}$，$L_2:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$的距离。

详细解析

1. 核心公式：两异面直线距离$d=\frac{|\overrightarrow{M_1M_2}\cdot(\boldsymbol{s_1}\times\boldsymbol{s_2})|}{|\boldsymbol{s_1}\times\boldsymbol{s_2}|}$，几何意义是$\overrightarrow{M_1M_2}$在公垂线方向上的投影的绝对值。
2. 步骤 1：提取核心参数 $L_1$定点$M_1(1,2,3)$，方向向量$\boldsymbol{s_1}=(1,0,-1)$； $L_2$定点$M_2(0,-1,0)$，方向向量$\boldsymbol{s_2}=(2,1,1)$； 向量$\overrightarrow{M_1M_2}=(-1,-3,-3)$。
3. 步骤 2：计算公垂线方向向量$\boldsymbol{s_1}\times\boldsymbol{s_2}$ $\boldsymbol{s_1}\times\boldsymbol{s_2}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(1,-3,1)$ 模长$|\boldsymbol{s_1}\times\boldsymbol{s_2}|=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}$。
4. 步骤 3：计算混合积与距离 混合积$\overrightarrow{M_1M_2}\cdot(\boldsymbol{s_1}\times\boldsymbol{s_2})=(-1)\times1+(-3)\times(-3)+(-3)\times1=5$； 因此距离： $d=\frac{|5|}{\sqrt{11}}=\boldsymbol{\frac{5\sqrt{11}}{11}}$

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题型 5：综合提高题（考研高频）

例题 16 求过直线$L:\begin{cases}x+5y+z=0 \\ x-z+4=0\end{cases}$，且与平面$\pi:x-4y-8z+12=0$成$45^\circ$角的平面方程。

详细解析

1. 核心思路：用平面束方程设出过直线$L$的所有平面，再通过夹角公式求解参数，注意验证平面束遗漏的平面。
2. 步骤 1：设平面束方程 过直线$L$的平面束方程为： $(x+5y+z)+\lambda(x-z+4)=0$ 整理得：$(1+\lambda)x+5y+(1-\lambda)z+4\lambda=0$，法向量$\boldsymbol{n_1}=(1+\lambda,5,1-\lambda)$。
3. 步骤 2：通过夹角公式列方程 已知平面$\pi$的法向量$\boldsymbol{n}=(1,-4,-8)$，两平面夹角为$45^\circ$，故： $\cos45^\circ=\frac{|\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n}|}$ 计算得：$\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n}=9\lambda-27$，$|\boldsymbol{n}|=9$，$|\boldsymbol{n_1}|=\sqrt{2\lambda^2+27}$，$\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入得： $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|9\lambda-27|}{9\sqrt{2\lambda^2+27}}$
4. 步骤 3：解方程求$\lambda$ 化简平方后得：$2\lambda^2+27=2(\lambda^2-6\lambda+9)$，解得$\lambda=-\frac{3}{4}$。
5. 步骤 4：验证平面束遗漏的平面 上述平面束不包含平面$x-z+4=0$，单独验证： 其法向量$\boldsymbol{n_2}=(1,0,-1)$，$\cos\theta=\frac{|1\times1+0\times(-4)+(-1)\times(-8)|}{\sqrt{2}\times9}=\frac{9}{9\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，满足$45^\circ$夹角，故也是解。
6. 步骤 5：写出最终平面方程 代入$\lambda=-\frac{3}{4}$，得$x+20y+7z-12=0$； 因此最终解为：$\boldsymbol{x+20y+7z-12=0}$ 和 $\boldsymbol{x-z+4=0}$。
7. 易错提示：单参数平面束会遗漏一个平面，必须单独验证，否则会漏解！

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例题 17 求两异面直线$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$，$L_2:\frac{x}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{2}$的公垂线方程。

详细解析

1. 核心思路：公垂线的方向向量为两直线方向向量的叉乘；公垂线是“过$L_1$且平行于公垂线方向的平面”与“过$L_2$且平行于公垂线方向的平面”的交线。
2. 步骤 1：求公垂线的方向向量$\boldsymbol{s}$ $L_1$方向向量$\boldsymbol{s_1}=(1,2,3)$，$L_2$方向向量$\boldsymbol{s_2}=(1,1,2)$，故： $\boldsymbol{s}=\boldsymbol{s_1}\times\boldsymbol{s_2}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}=(1,1,-1)$
3. 步骤 2：求过$L_1$且平行于$\boldsymbol{s}$的平面$\pi_1$ $\pi_1$的法向量$\boldsymbol{n_1}=\boldsymbol{s_1}\times\boldsymbol{s}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\1&2&3\\1&1&-1\end{vmatrix}=(-5,4,-1)$； $\pi_1$过$L_1$上定点$M_1(1,1,1)$，代入点法式得： $-5(x-1)+4(y-1)-1(z-1)=0 \implies 5x-4y+z-2=0$
4. 步骤 3：求过$L_2$且平行于$\boldsymbol{s}$的平面$\pi_2$ $\pi_2$的法向量$\boldsymbol{n_2}=\boldsymbol{s_2}\times\boldsymbol{s}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\1&1&2\\1&1&-1\end{vmatrix}=(-3,3,0)$，简化为$(1,-1,0)$； $\pi_2$过$L_2$上定点$M_2(0,-2,3)$，代入点法式得： $1\cdot(x-0)-1\cdot(y+2)+0\cdot(z-3)=0 \implies x-y-2=0$
5. 步骤 4：写出公垂线方程 公垂线是$\pi_1$与$\pi_2$的交线，即： $\boldsymbol{\begin{cases}5x-4y+z-2=0 \\ x-y-2=0\end{cases}}$