刚体转动：力矩做功、动能定理与角动量守恒

本文详细梳理刚体绕定轴转动中的力矩做功、转动动能定理以及角动量守恒定律的核心概念与公式推导。

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一、力的累积效应 vs 力矩的累积效应

在力学中，力的累积效应分为空间累积和时间累积，力矩亦然：

累积效应	力的作用 (平动)	力矩的作用 (转动)
空间累积	力的功、动能、动能定理	力矩的功、转动动能、动能定理
时间累积	冲量、动量、动量定理	冲量矩、角动量、角动量定理

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二、力矩的功与刚体转动动能定理 (4-4)

1. 力矩的功 (Work done by Torque)

力 $\vec{F}$ 作用在刚体上，使刚体绕定轴转动。力矩 $M$ 所做的元功 $dW$ 定义为：

$$dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} = F_t ds = F_t r d\theta = M d\theta$$

其中：

• $F_t$ 为切向力
• $r$ 为力臂
• $d\theta$ 为角位移
• $M = F_t r$ 为力矩

总功为力矩在角位移上的积分：

$$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M d\theta$$

比较：平动中力的功 $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$

2. 力矩的功率 (Power of Torque)

功率是功对时间的变化率：

$$P = \frac{dW}{dt} = M \frac{d\theta}{dt} = M \omega$$

比较：平动中力的功率 $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$

3. 刚体的转动动能 (Rotational Kinetic Energy)

刚体绕定轴转动时，其动能等于组成刚体的各质元动能之和：

$$E_k = \sum \frac{1}{2} \Delta m_i v_i^2 = \sum \frac{1}{2} \Delta m_i (r_i \omega)^2 = \frac{1}{2} \left( \sum \Delta m_i r_i^2 \right) \omega^2$$

定义转动惯量 $J = \sum \Delta m_i r_i^2$，则：

$$E_k = \frac{1}{2} J \omega^2$$

比较：平动动能 $E_k = \frac{1}{2} m v^2$

4. 刚体绕定轴转动的动能定理

合外力矩对绕定轴转动的刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。

推导：

$$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M d\theta = \int_{\theta_1}^{\theta_2} J \alpha d\theta = \int_{\theta_1}^{\theta_2} J \frac{d\omega}{dt} d\theta = \int_{\omega_1}^{\omega_2} J \omega d\omega$$ $$W = \frac{1}{2} J \omega_2^2 - \frac{1}{2} J \omega_1^2$$

定理表述：

$$W = \Delta E_k$$

5. 典型例题：子弹射入杆

模型：长为 $l$、质量为 $m'$ 的杆可绕支点 $O$ 自由转动。质量为 $m$、速率为 $v$ 的子弹射入竿内距支点为 $a$ 处，使竿的偏转角为 $30^\circ$。

求解：子弹的初速率。

解法：

1. 碰撞过程（角动量守恒）： 子弹、竿组成系统，碰撞瞬间角动量守恒。

   $$m v a = (J_{\text{杆}} + J_{\text{子弹}}) \omega = \left( \frac{1}{3} m' l^2 + m a^2 \right) \omega$$

   (注：此处原文公式略有简化，通常杆绕端点转动惯量为 $\frac{1}{3}m'l^2$，原文似乎使用了特定条件或近似，以下按原文逻辑整理) 原文公式：

   $$m v a = \left( \frac{1}{3} m' l^2 + m a^2 \right) \omega$$

2. 摆动过程（机械能守恒）： 射入后，子弹、细杆和地球为系统，机械能守恒。

   $$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} m' l^2 + m a^2 \right) \omega^2 = m' g \frac{l}{2} (1 - \cos 30^\circ) + m g a (1 - \cos 30^\circ)$$

   联立求解即可得到 $v$。

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三、角动量与角动量守恒定律 (4-3)

1. 质点的角动量 (Angular Momentum of a Particle)

质量为 $m$ 的质点，速度为 $\vec{v}$，某时刻对参考点 $O$ 的位矢为 $\vec{r}$。

定义：

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}$$

大小：

$$L = r m v \sin\theta$$

方向：符合右手螺旋法则。 单位：$kg \cdot m^2 \cdot s^{-1}$

特例：质点作半径为 $r$ 的圆周运动

$$L = m r^2 \omega = J \omega$$

2. 质点的角动量定理

推导：

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt} (\vec{r} \times \vec{p}) = \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt}$$

由于 $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ 且 $\vec{p} = m\vec{v}$，故 $\vec{v} \times m\vec{v} = 0$。 又根据牛顿第二定律 $\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}$，故：

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{M}$$

定理表述： 作用于质点的合外力对参考点 $O$ 的力矩，等于质点对该点 $O$ 的角动量随时间的变化率。

$$\vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt}$$

积分形式（冲量矩）：

$$\int_{t_1}^{t_2} \vec{M} dt = \vec{L}_2 - \vec{L}_1$$

3. 质点的角动量守恒定律

条件：当质点所受对参考点 $O$ 的合力矩为零时 ($\vec{M} = 0$)。 结论：质点对该参考点 $O$ 的角动量为一常矢量。

$$\vec{L} = \text{常矢量}$$

注：$\vec{M}=0$ 有两种情况：

1. 合力 $\vec{F} = 0$。
2. 合力不为零，但合力通过参考点 $O$ (有心力)。

4. 刚体定轴转动的角动量

定义：

$$\vec{L} = \sum (\vec{r}_i \times m_i \vec{v}_i) = \sum m_i r_i^2 \vec{\omega} = J \vec{\omega}$$

5. 刚体定轴转动的角动量定理

微分形式：

$$\vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d(J\vec{\omega})}{dt}$$

若 $J$ 为常量（刚体），则 $\vec{M} = J \vec{\alpha}$ (转动定律)。

积分形式：

$$\int_{t_1}^{t_2} \vec{M} dt = J \omega_2 - J \omega_1$$

表述：当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。

6. 刚体定轴转动的角动量守恒定律

条件：合外力矩等于零 ($\vec{M} = 0$)。 结论：

$$\vec{L} = J \vec{\omega} = \text{常量}$$

讨论：

• 若 $J$ 不变，则 $\omega$ 不变。
• 若 $J$ 变化（如非刚体或系统内物体相对位置变化），则 $\omega$ 相应变化，但 $L$ 保持不变。
• 内力矩不改变系统的角动量。

7. 典型例题分析

(1) 小球在光滑圆环上下滑

• 系统：小球。
• 受力：重力 $\vec{P}$，支持力 $\vec{F_N}$。
• 力矩：支持力力矩为零，重力矩 $M = mgR \cos\theta$。
• 原理：利用角动量定理 $\frac{dL}{dt} = M$ 积分求解角速度。

(2) 登月飞船变轨

• 过程：飞船在 A 点喷气，变轨至 B 点。
• 原理：
  1. 角动量守恒：在有心力场中运动，$L_A = L_B \Rightarrow m v_A R_A = m v_B R_B$。
  2. 机械能守恒：$E_A = E_B$。
  3. 动量定理：喷气过程消耗燃料质量计算。

(3) 小虫在细杆上爬行

• 模型：细杆绕中心转动，小虫背离中心爬行。
• 条件：欲使细杆以恒定角速度 $\omega$ 转动。
• 原理： 利用角动量定理 $\frac{dL}{dt} = M$。 $$\frac{d}{dt} (J \omega) = M_{\text{重力}}$$ 由于 $\omega$ 恒定，$J$ 随小虫位置 $r$ 变化，需小虫以特定速率 $v = \frac{dr}{dt}$ 爬行以平衡重力矩的变化。

(4) 杂技演员跷板问题

• 模型：演员 M 落下撞击跷板一端，将另一端演员 N 弹起。
• 原理：
  1. 碰撞瞬间：M、N 和跷板系统角动量守恒（忽略重力矩冲量）。 $$m v_M \frac{l}{2} = J_{\text{总}} \omega$$
  2. 弹起过程：演员 N 以初速度 $u = \omega \frac{l}{2}$ 做竖直上抛运动，机械能守恒求高度。

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四、总结：平动与转动的对应关系

物理量/定律	平动 (Translation)	转动 (Rotation)
位移	$x$	$\theta$
速度	$v$	$\omega$
加速度	$a$	$\alpha$
惯性量	质量 $m$	转动惯量 $J$
力/力矩	力 $\vec{F}$	力矩 $\vec{M}$
动量/角动量	动量 $\vec{p} = m\vec{v}$	角动量 $\vec{L} = J\vec{\omega}$
动能	$E_k = \frac{1}{2}mv^2$	$E_k = \frac{1}{2}J\omega^2$
功	$W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$	$W = \int M d\theta$
牛顿第二定律	$\vec{F} = m\vec{a}$	$\vec{M} = J\vec{\alpha}$
动能定理	$W = \Delta (\frac{1}{2}mv^2)$	$W = \Delta (\frac{1}{2}J\omega^2)$
守恒定律	动量守恒 ($\vec{F}=0$)	角动量守恒 ($\vec{M}=0$)

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自然界中的守恒定律： 动量守恒、能量守恒、角动量守恒、电荷守恒、质量守恒、宇称守恒等。其中角动量守恒定律是自然界的一个基本定律，广泛应用于花样滑冰、跳水、天体运动等现象。