牛顿定律、动量与能量

1843 字 预计阅读 8 分钟

2026 年 3 月 10 日

目录

  1. 牛顿运动定律与常见力
  2. 动量定理
  3. 动量守恒定律
  4. 功与动能定理
  5. 力学三大观点对比

1. 牛顿运动定律与常见力

1.1 牛顿第二定律

牛顿第二定律描述了力与运动状态变化之间的瞬时关系。

微分形式： F⃗=dp⃗dt=d(mv⃗)dt\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d(m\vec{v})}{dt}

质量恒定情况： F⃗=mdv⃗dt=ma⃗\vec{F} = m\frac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{a}

动力学两类基本问题：

  1. 已知力求运动：F⃗→a⃗→v⃗→r⃗\vec{F} \rightarrow \vec{a} \rightarrow \vec{v} \rightarrow \vec{r}（积分过程）
  2. 已知运动求力：r⃗→v⃗→a⃗→F⃗\vec{r} \rightarrow \vec{v} \rightarrow \vec{a} \rightarrow \vec{F}（微分过程）

解题一般步骤：

  1. 隔离物体
  2. 受力分析
  3. 建立坐标系
  4. 列分量方程
  5. 解方程
  6. 结果讨论

1.2 万有引力与重力

万有引力定律： F=Gm1m2r2F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} 其中引力常数 G≈6.67×10−11 N⋅m2/kg2G \approx 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2。

重力： 在地表附近，物体所受重力近似为： P=mgP = mg 其中重力加速度 g=GmER2≈9.80 m/s2g = \frac{Gm_E}{R^2} \approx 9.80 \, \text{m/s}^2。

1.3 四种基本相互作用

自然界中所有的力均可归结为以下四种基本相互作用：

种类相互作用粒子力程 (m)相对强度备注
引力作用所有粒子、质点∞\infty10−3910^{-39}宏观主导
电磁作用带电粒子∞\infty10−310^{-3}微观宏观均重要
弱相互作用强子等大多数粒子10−1810^{-18}10−1210^{-12}负责β\beta衰变
强相互作用核子、介子等强子10−1510^{-15}11维持原子核稳定

注：强度是以两质子间相距为 10−15m10^{-15}\text{m} 时的相互作用强度为 1 给出的。

1.4 弹性力

由物体形变而产生的力，常见于正压力、张力、弹簧等。

胡克定律（弹簧弹性力）： F=−kxF = -kx 其中 kk 为劲度系数，xx 为形变量，负号表示力指向平衡位置。

1.5 摩擦力

最大静摩擦力： Ff0m=μ0FNF_{f0m} = \mu_0 F_N

滑动摩擦力： Ff=μFNF_f = \mu F_N

静摩擦力范围： Ff0≤Ff0mF_{f0} \leq F_{f0m} 一般情况下 μ0≈μ\mu_0 \approx \mu。

2. 动量定理

2.1 力的时间累积效应

力对时间的积累效应导致动量的变化。

动量定义： p⃗=mv⃗\vec{p} = m\vec{v}

冲量定义： I⃗=∫t1t2F⃗dt\vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt

2.2 质点的动量定理推导

从牛顿第二定律出发： F⃗=dp⃗dt\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}

分离变量： F⃗dt=dp⃗\vec{F} dt = d\vec{p}

两边积分（时间从 t1t_1 到 t2t_2，动量从 p⃗1\vec{p}_1 到 p⃗2\vec{p}_2）： ∫t1t2F⃗dt=∫p⃗1p⃗2dp⃗\int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt = \int_{\vec{p}_1}^{\vec{p}_2} d\vec{p}

得到质点动量定理： I⃗=p⃗2−p⃗1=mv⃗2−mv⃗1\vec{I} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1

文字表述：在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。

分量形式： Ix=∫t1t2Fxdt=mv2x−mv1xI_x = \int_{t_1}^{t_2} F_x dt = mv_{2x} - mv_{1x} Iy=∫t1t2Fydt=mv2y−mv1yI_y = \int_{t_1}^{t_2} F_y dt = mv_{2y} - mv_{1y} Iz=∫t1t2Fzdt=mv2z−mv1zI_z = \int_{t_1}^{t_2} F_z dt = mv_{2z} - mv_{1z}

说明：某方向受到冲量，该方向上动量就改变。

2.3 质点系的动量定理推导

考虑由 nn 个质点组成的系统。

对第 ii 个质点应用动量定理： ∫t1t2(F⃗iex+∑j≠iF⃗ijin)dt=p⃗i−p⃗i0\int_{t_1}^{t_2} (\vec{F}_i^{\text{ex}} + \sum_{j \neq i} \vec{F}_{ij}^{\text{in}}) dt = \vec{p}_i - \vec{p}_{i0} 其中 F⃗iex\vec{F}_i^{\text{ex}} 为外力，F⃗ijin\vec{F}_{ij}^{\text{in}} 为内力。

对所有质点求和： ∑i=1n∫t1t2F⃗iexdt+∑i=1n∑j≠i∫t1t2F⃗ijindt=∑i=1np⃗i−∑i=1np⃗i0\sum_{i=1}^n \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}_i^{\text{ex}} dt + \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i} \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}_{ij}^{\text{in}} dt = \sum_{i=1}^n \vec{p}_i - \sum_{i=1}^n \vec{p}_{i0}

内力抵消： 根据牛顿第三定律，F⃗ijin=−F⃗jiin\vec{F}_{ij}^{\text{in}} = -\vec{F}_{ji}^{\text{in}}，故内力冲量之和为零： ∑i=1n∑j≠iF⃗ijin=0\sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i} \vec{F}_{ij}^{\text{in}} = 0

得到质点系动量定理： ∫t1t2∑i=1nF⃗iexdt=P⃗−P⃗0\int_{t_1}^{t_2} \sum_{i=1}^n \vec{F}_i^{\text{ex}} dt = \vec{P} - \vec{P}_0 即： I⃗ex=ΔP⃗\vec{I}^{\text{ex}} = \Delta \vec{P}

文字表述：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。

注意：内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量。

2.4 平均冲力

对于变力 F⃗(t)\vec{F}(t)，定义平均冲力 Fˉ\bar{F} 使得： I⃗=Fˉ(t2−t1)=Δp⃗\vec{I} = \bar{F} (t_2 - t_1) = \Delta \vec{p}

平均冲力公式： Fˉ=Δp⃗Δt\bar{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}

应用：在动量变化 Δp⃗\Delta \vec{p} 一定时，作用时间 Δt\Delta t 越小，平均冲力 Fˉ\bar{F} 越大（碰撞问题的核心）。

3. 动量守恒定律

3.1 定律推导

由质点系动量定理： dP⃗dt=∑F⃗ex\frac{d\vec{P}}{dt} = \sum \vec{F}^{\text{ex}}

若系统所受合外力为零： ∑F⃗ex=0\sum \vec{F}^{\text{ex}} = 0

则： dP⃗dt=0⇒P⃗=常量\frac{d\vec{P}}{dt} = 0 \Rightarrow \vec{P} = \text{常量}

动量守恒定律表达式： ∑i=1nmiv⃗i=常量\sum_{i=1}^n m_i \vec{v}_i = \text{常量}

3.2 守恒条件

  1. 严格守恒：系统所受合外力为零。 F⃗ex=0\vec{F}^{\text{ex}} = 0
  2. 近似守恒：当外力远小于内力时（如碰撞、爆炸）。 F⃗ex≪F⃗in\vec{F}^{\text{ex}} \ll \vec{F}^{\text{in}}
  3. 分量守恒：若合外力在某一方向的分量为零。 Fxex=0⇒Px=∑mivix=常量F_x^{\text{ex}} = 0 \Rightarrow P_x = \sum m_i v_{ix} = \text{常量}

3.3 重要说明

  1. 系统的总动量不变，但系统内任一质点的动量是可变的。
  2. 动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一，适用于宏观和微观世界，在相对论和量子力学中仍然成立。

4. 功与动能定理

4.1 功的定义

恒力的功： W=F⃗⋅Δr⃗=FΔrcos⁡θW = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = F \Delta r \cos \theta

变力的功： 元功： dW=F⃗⋅dr⃗=Fcos⁡θdsdW = \vec{F} \cdot d\vec{r} = F \cos \theta ds

总功（沿路径 LL 积分）： W=∫ABF⃗⋅dr⃗=∫ABFcos⁡θdsW = \int_{A}^{B} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{A}^{B} F \cos \theta ds

直角坐标系表达： W=∫AB(Fxdx+Fydy+Fzdz)W = \int_{A}^{B} (F_x dx + F_y dy + F_z dz)

功的性质：

  1. 功是过程量，与路径有关。
  2. 合力的功等于各分力的功的代数和。
  3. 正负功判断：
    • 0∘≤θ<90∘0^\circ \leq \theta < 90^\circ，W>0W > 0（力做正功）
    • θ=90∘\theta = 90^\circ，W=0W = 0（力不做功）
    • 90∘<θ≤180∘90^\circ < \theta \leq 180^\circ，W<0W < 0（力做负功）

4.2 功率

平均功率： Pˉ=ΔWΔt\bar{P} = \frac{\Delta W}{\Delta t}

瞬时功率： P=dWdt=F⃗⋅dr⃗dt=F⃗⋅v⃗=Fvcos⁡θP = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv \cos \theta

单位：

  • 功：焦耳 (J), 1 J=1 N⋅m1 \text{ J} = 1 \text{ N}\cdot\text{m}
  • 功率：瓦特 (W), 1 W=1 J/s1 \text{ W} = 1 \text{ J/s}

4.3 质点的动能定理推导

从牛顿第二定律出发： F⃗=mdv⃗dt\vec{F} = m\frac{d\vec{v}}{dt}

两边同时点乘位移微元 dr⃗d\vec{r}： F⃗⋅dr⃗=mdv⃗dt⋅dr⃗\vec{F} \cdot d\vec{r} = m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot d\vec{r}

由于 dr⃗=v⃗dtd\vec{r} = \vec{v} dt，代入右边： F⃗⋅dr⃗=mdv⃗dt⋅(v⃗dt)=mv⃗⋅dv⃗\vec{F} \cdot d\vec{r} = m\frac{d\vec{v}}{dt} \cdot (\vec{v} dt) = m \vec{v} \cdot d\vec{v}

利用矢量恒等式 v⃗⋅dv⃗=12d(v⃗⋅v⃗)=12d(v2)\vec{v} \cdot d\vec{v} = \frac{1}{2} d(\vec{v} \cdot \vec{v}) = \frac{1}{2} d(v^2)： dW=F⃗⋅dr⃗=12md(v2)dW = \vec{F} \cdot d\vec{r} = \frac{1}{2} m d(v^2)

两边积分（从状态 1 到状态 2）： W=∫12d(12mv2)=12mv22−12mv12W = \int_{1}^{2} d\left( \frac{1}{2} m v^2 \right) = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2

得到动能定理： W=Ek2−Ek1=ΔEkW = E_{k2} - E_{k1} = \Delta E_k 其中动能定义为 Ek=12mv2E_k = \frac{1}{2}mv^2。

文字表述：合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量。

注意：

  1. 功是过程量，动能是状态量。
  2. 功和动能依赖于惯性系的选取，但对不同惯性系动能定理形式相同。

5. 力学三大观点对比

观点核心定律基本方程适用场景物理量性质
力的观点牛顿第二定律F⃗=ma⃗\vec{F} = m\vec{a}求瞬时加速度、轨迹方程、受力细节矢量、瞬时性
动量观点动量定理I⃗=Δp⃗\vec{I} = \Delta\vec{p}碰撞、打击、变质量问题、涉及时间矢量、累积性 (时间)
能量观点动能定理W=ΔEkW = \Delta E_k变力做功、求速度大小、涉及位移标量、累积性 (空间)

5.1 守恒律比较

守恒律守恒条件适用范围物理量性质
动量守恒∑F⃗ex=0\sum \vec{F}^{\text{ex}} = 0宏观、微观均适用矢量
机械能守恒只有保守力做功宏观系统标量

5.2 概念对比表

概念定义式性质单位
动量 p⃗\vec{p}mv⃗m\vec{v}状态量、矢量kg⋅m/s\text{kg}\cdot\text{m/s}
冲量 I⃗\vec{I}∫F⃗dt\int \vec{F} dt过程量、矢量N⋅s\text{N}\cdot\text{s}
动能 EkE_k12mv2\frac{1}{2}mv^2状态量、标量J\text{J}
功 WW∫F⃗⋅dr⃗\int \vec{F} \cdot d\vec{r}过程量、标量J\text{J}
牛顿定律、动量与能量
https://shi-tou1234.github.io/-/blog/牛顿定律动量与能量/
作者
shi-tou1234
发布时间
2026 年 3 月 10 日
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0