第一章 质点运动学

1-1 质点运动的描述

一、参考系 质点

• 参考系：为描述物体运动而选作标准（认为静止）的物体。
• 质点：忽略物体的大小和形状变化，将其视为一个有质量的点——理想模型。能否视为质点取决于具体问题。

二、位置矢量 运动方程 位移

• 位置矢量 $\vec{r}$

  $$\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$

  大小：$r = |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
  方向余弦：$\cos\alpha = \frac{x}{r},\ \cos\beta = \frac{y}{r},\ \cos\gamma = \frac{z}{r}$

• 运动方程

  $$\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$$

  分量式：$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$
  消去 $t$ 得轨迹方程。

• 位移 $\Delta\vec{r}$（矢量）
  三维：$\Delta\vec{r} = (x_B-x_A)\vec{i} + (y_B-y_A)\vec{j} + (z_B-z_A)\vec{k}$

• 路程 $\Delta s$（标量）：质点实际路径长度。
  位移与路程的区别：

  1. 位移唯一，路程不唯一；
  2. 一般情况下 $|\Delta\vec{r}| \neq \Delta s$；
  3. 位移是矢量，路程是标量。

三、速度

• 平均速度

  $$\overline{\vec{v}} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\vec{i} + \frac{\Delta y}{\Delta t}\vec{j}$$

• 瞬时速度（简称速度）

  $$\vec{v} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\vec{i} + \frac{dy}{dt}\vec{j} + \frac{dz}{dt}\vec{k}$$

• 速率：速度的大小 $v = \left|\frac{d\vec{r}}{dt}\right| = \frac{ds}{dt}$
  当 $\Delta t\to 0$ 时，$|d\vec{r}| = ds$，故 $\vec{v} = \frac{ds}{dt}\vec{e}_t$，方向沿轨迹切线。

注意：$\left|\frac{d\vec{r}}{dt}\right| \neq \frac{d|\vec{r}|}{dt}$，前者是速度大小，后者是位矢大小的变化率。

四、加速度

• 平均加速度

  $$\vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$$

• 瞬时加速度

  $$\vec{a} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$$

  分量：$a_x = \frac{dv_x}{dt},\ a_y = \frac{dv_y}{dt},\ a_z = \frac{dv_z}{dt}$
  大小：$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$
  方向：直线运动时 $\vec{a}\parallel\vec{v}$，曲线运动时指向轨迹凹侧。

例题

例1

已知运动方程：$x(t)=1.0t+2.0,\ y(t)=0.25t^2+2.0$（单位：m, s）
(1) 求 $t=3\,\mathrm{s}$ 时的速度；
(2) 作轨迹图。

解
(1) $v_x = \frac{dx}{dt}=1.0,\ v_y = \frac{dy}{dt}=0.5t$
$t=3\,\mathrm{s}$ 时 $\vec{v}=1.0\vec{i}+1.5\vec{j}$，大小 $v=\sqrt{1.0^2+1.5^2}\approx1.8\,\mathrm{m/s}$，方向与 $x$ 轴夹角 $\theta=\arctan(1.5/1.0)\approx56.3^\circ$
(2) 消去 $t$ 得轨迹方程：$y=0.25x^2 - x + 3.0$

例2

如图，刚性杆 $l$ 连接 A、B 两物体在光滑轨道上滑行，A 以恒定速率 $v$ 向左滑。求当 $\alpha=60^\circ$ 时 B 的速度。

解
建立坐标系，A 沿 x 轴，B 沿 y 轴。
$x^2 + y^2 = l^2$ 两边对时间求导：
$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}$
已知 $\frac{dx}{dt}=-v$，且 $\frac{x}{y}=\tan\alpha$，故 $\frac{dy}{dt}=v\tan\alpha$
$\alpha=60^\circ$ 时 $\tan60^\circ = sqrt{3}$，所以 $v_B = v\tan60^\circ \approx 1.73v$，方向沿 y 轴正向。

例3

小球在液体中竖直下落，初速度 $\vec{v}_0 = 10\vec{j}\,\mathrm{m/s}$，加速度 $\vec{a} = -1.0\,\vec{v}\,\vec{j}$。求 (1) 停止所需时间；(2) 停止前经历路程。

解
加速度与速度反向，有 $\frac{dv}{dt} = -1.0\,v$
分离变量：$\int_{v_0}^{v}\frac{dv}{v} = -\int_0^t dt$ 得 $v = v_0 e^{-t}$
又 $v = \frac{dy}{dt}$，积分得 $y = v_0(1-e^{-t}) = 10(1-e^{-t})\,\mathrm{m}$
计算表格显示当 $t=9.2\,\mathrm{s}$ 时 $v\approx0$，$y\approx10\,\mathrm{m}$，即近似停止，路程 $10\,\mathrm{m}$。

例4

抛体从原点以初速 $v_0$、抛射角 $\alpha$ 抛出，忽略空气阻力，求轨迹方程和最大射程。

解
加速度 $\vec{a} = -g\vec{j}$，初始 $v_{0x}=v_0\cos\alpha,\ v_{0y}=v_0\sin\alpha$
运动方程：$x = v_0\cos\alpha\cdot t,\ y = v_0\sin\alpha\cdot t - \frac{1}{2}gt^2$
消去 $t$ 得轨迹：$y = x\tan\alpha - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2$
射程：令 $y=0$ 得 $x=0$（原点）和 $x = \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}$
即 $d_0 = \frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}$，最大射程当 $\sin2\alpha=1$ 即 $\alpha=45^\circ$，$d_{0\mathrm{max}} = \frac{v_0^2}{g}$（实际因空气阻力小于此值）。

质点运动学两类基本问题

1. 已知运动方程 → 求速度、加速度（微分）；
2. 已知加速度及初始条件 → 求速度、运动方程（积分）。

---

1-2 圆周运动

一、平面极坐标

为了描述平面上点的运动，除了直角坐标 $(x,y)$，还可以使用极坐标 $(r,\theta)$，其中 $r$ 为点到原点的距离，$\theta$ 为极角（与 $x$ 轴正向夹角）。两者关系为：

$$\begin{cases} x = r \cos\theta \\[1ex] y = r \sin\theta \end{cases}$$

二、圆周运动的角速度

当质点沿半径为 $r$ 的圆周运动时，其位置可由角坐标 $\theta(t)$ 唯一确定。弧长 $s$ 与角坐标的关系为 $s = r\theta$（$\theta$ 以弧度为单位）。

• 角速度 $\omega$ 定义为角坐标对时间的变化率：

  $$\omega = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{d\theta}{dt}$$

  单位：$\mathrm{rad \cdot s^{-1}}$。

• 线速度大小 $v$ 与角速度的关系：

  $$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(r\theta) = r\frac{d\theta}{dt} = r\omega$$

  方向沿圆周的切线方向，记切向单位矢量为 $\vec{e}_t$，则速度矢量可写为：

  $$\vec{v} = v\,\vec{e}_t = r\omega\,\vec{e}_t$$

三、圆周运动的切向加速度和法向加速度

质点作圆周运动时，速度大小和方向都可能变化。加速度的一般定义为：

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v\vec{e}_t) = \frac{dv}{dt}\vec{e}_t + v\frac{d\vec{e}_t}{dt}$$

1. 切向加速度

第一项 $\displaystyle \frac{dv}{dt}\vec{e}_t$ 是由于速度大小变化引起的加速度，方向沿切线，称为切向加速度：

$$\vec{a}_t = \frac{dv}{dt}\vec{e}_t$$

引入角加速度 $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$，则 $dv/dt = r\,d\omega/dt = r\alpha$，所以

$$\vec{a}_t = r\alpha\,\vec{e}_t$$

2. 法向加速度

第二项 $v\,\dfrac{d\vec{e}_t}{dt}$ 是由于速度方向变化引起的加速度。需要求出 $\dfrac{d\vec{e}_t}{dt}$。

考虑质点沿圆周运动，切向单位矢量 $\vec{e}_t$ 的方向随位置变化。在 $\Delta t$ 时间内，质点转过 $\Delta\theta$ 角，$\vec{e}_t$ 也转过相同的角度 $\Delta\theta$，其方向变化如右图（想象）。矢量 $\Delta\vec{e}_t$ 的大小近似为 $|\vec{e}_t|\cdot\Delta\theta = \Delta\theta$（因为 $|\vec{e}_t|=1$），方向垂直于 $\vec{e}_t$ 并指向曲线凹侧，即法向方向 $\vec{e}_n$（指向圆心）。因此

$$\frac{d\vec{e}_t}{dt} = \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\vec{e}_t}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\,\vec{e}_n = \frac{d\theta}{dt}\,\vec{e}_n = \omega\,\vec{e}_n$$

于是

$$v\frac{d\vec{e}_t}{dt} = v\omega\,\vec{e}_n = r\omega^2\,\vec{e}_n = \frac{v^2}{r}\,\vec{e}_n$$

这一项是由于速度方向变化引起的加速度，方向指向圆心，称为法向加速度（向心加速度）：

$$\vec{a}_n = \frac{v^2}{r}\,\vec{e}_n = r\omega^2\,\vec{e}_n$$

3. 总加速度

总加速度为切向加速度与法向加速度的矢量和：

$$\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n = \frac{dv}{dt}\vec{e}_t + \frac{v^2}{r}\vec{e}_n$$

大小：

$$a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{\left(\frac{dv}{dt}\right)^2 + \left(\frac{v^2}{r}\right)^2}$$

方向与切线方向的夹角 $\theta$ 满足 $\tan\theta = \dfrac{a_n}{a_t}$（$a_t \neq 0$）。

四、线量与角量的关系

总结如下：

• 弧长与角位移：$ds = r\,d\theta$
• 线速度与角速度：$v = r\omega$
• 切向加速度与角加速度：$a_t = r\alpha$
• 法向加速度与角速度：$a_n = r\omega^2 = v^2/r$

五、自然坐标系

以质点当前位置为原点，取切向单位矢量 $\vec{e}_t$（指向运动方向）和法向单位矢量 $\vec{e}_n$（指向曲线凹侧）构成的正交坐标系，称为自然坐标系。上述加速度分解就是自然坐标系下的表示。

六、匀变速率圆周运动

若角加速度 $\alpha$ 为常量（匀角加速圆周运动），则与匀变速直线运动类比，可得运动学公式。

由 $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt} = \text{常量}$ 积分得：

$$\int_{\omega_0}^{\omega} d\omega = \int_0^t \alpha\,dt \quad\Rightarrow\quad \omega = \omega_0 + \alpha t$$

由 $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$ 积分得：

$$\int_{\theta_0}^{\theta} d\theta = \int_0^t (\omega_0 + \alpha t)\,dt \quad\Rightarrow\quad \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$$

消去 $t$ 得角速度与角位移的关系：

$$\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$$

线量形式（$s = r\theta,\ v = r\omega,\ a_t = r\alpha$）完全对应：

$$\begin{cases} v = v_0 + a_t t \\[1ex] s = s_0 + v_0 t + \dfrac{1}{2}a_t t^2 \\[1ex] v^2 = v_0^2 + 2a_t(s - s_0) \end{cases}$$

例题

例 一歼击机在高空点A时的水平速率为 $1940\,\mathrm{km \cdot h^{-1}}$，沿近似圆弧曲线俯冲到点B，其速率为 $2192\,\mathrm{km \cdot h^{-1}}$，经历时间为 $3\,\mathrm{s}$，圆弧的半径约为 $3.5\times10^3\,\mathrm{m}$。设飞机从A到B过程视为匀变速率圆周运动，不计重力加速度的影响，求：(1) 飞机在点B的加速度；(2) 飞机由点A到点B所经历的路程。

解
(1) 首先将速度单位换算为 $\mathrm{m/s}$：

$$v_A = 1940 \times \frac{1000}{3600} \approx 538.9\,\mathrm{m/s},\qquad v_B = 2192 \times \frac{1000}{3600} \approx 608.9\,\mathrm{m/s}$$

匀变速率圆周运动意味着切向加速度 $a_t$ 为常量。由 $a_t = \dfrac{v_B - v_A}{t}$ 得：

$$a_t = \frac{608.9 - 538.9}{3} = 23.3\,\mathrm{m/s^2}$$

在B点，法向加速度为：

$$a_n = \frac{v_B^2}{r} = \frac{608.9^2}{3.5\times10^3} \approx 106\,\mathrm{m/s^2}$$

B点总加速度大小为：

$$a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{23.3^2 + 106^2} \approx 109\,\mathrm{m/s^2}$$

设加速度与法向方向的夹角为 $\beta$，则

$$\tan\beta = \frac{a_t}{a_n} = \frac{23.3}{106} \approx 0.220,\quad \beta = \arctan(0.220) \approx 12.4^\circ$$

即加速度方向与法向（指向圆心）偏前 $12.4^\circ$。

(2) 路程 $s$ 可用匀变速率直线运动公式计算（因是圆弧，路程即弧长）：

$$s = v_A t + \frac{1}{2}a_t t^2 = 538.9\times3 + \frac{1}{2}\times23.3\times3^2 \approx 1616.7 + 104.85 = 1721.55\,\mathrm{m}$$

故路程约为 $1722\,\mathrm{m}$。

---

1-3 相对运动

一、时间与空间的绝对性

经典力学中，时间测量和空间测量与参考系无关，是绝对的。

二、相对运动（伽利略变换）

• S系（基本参考系），S’系（运动参考系），S’系相对S系以速度 $\vec{u}$ 运动。
• 位移关系：$\Delta\vec{r} = \Delta\vec{r}' + \vec{u}\Delta t$
• 速度变换（伽利略速度变换）： $$\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}$$ 其中 $\vec{v}$ 为绝对速度（S系中观察），$\vec{v}'$ 为相对速度（S’系中观察），$\vec{u}$ 为牵连速度。
• 加速度关系：若 $\vec{u}$ 为常量，则 $\vec{a} = \vec{a}'$；若 $\vec{u}$ 变化，则 $\vec{a} = \vec{a}' + \frac{d\vec{u}}{dt}$。

注意：当物体速度接近光速时，伽利略变换不再成立。

例题

例 实验者A在平板车上（相对地面以 $10\,\mathrm{m/s}$ 向右）以与车前进方向成 $60^\circ$ 角斜向上发射弹丸。地面上的B观察到弹丸铅直向上运动。求弹丸上升高度。

解
取地面为S系，平板车为S’系，牵连速度 $u=10\,\mathrm{m/s}$（沿x正向）。
速度变换：$v_x = v_x' + u,\ v_y = v_y'$
B看到弹丸竖直向上，即 $v_x = 0$，故 $v_x' = -u = -10\,\mathrm{m/s}$。
在S’系中，弹丸速度方向已知：$\tan60^\circ = \frac{v_y'}{|v_x'|}$，所以 $v_y' = |v_x'|\tan60^\circ = 10\times\sqrt{3} \approx 17.3\,\mathrm{m/s}$。
因此绝对速度的竖直分量 $v_y = v_y' = 17.3\,\mathrm{m/s}$，上升高度 $h = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{17.3^2}{2\times9.8} \approx 15.3\,\mathrm{m}$。